训练Neural Network依然可以使用此前学过的Gradient Descent的方法来更新参数，基本步骤与linear Regression或Logistic Regression中是相同的，但Neural network中的parameters $\theta=w_1,w_2,…,b_1,b_2,…$里面可能会有将近million个参数。所以现在最大的困难是，如何有效地把这个近百万维的vector给计算出来，这就是Backpropagation要做的事情，Backpropagation并不是一个和gradient descent不同的training的方法，它只是一个比较有效率的算法，使得求gradient更有效率。
Chain Rule
Backpropagation的数学原理其实很简单，只需记住Chain Rule 链式法则。
Backpropagation
对整个neural network，定义一个loss function：$L(\theta)=\sum\limits_{n=1}^N l^n(\theta)$，它等于所有training data的loss之和。我们把training data里任意一个样本点$x^n$代到neural network里面，它会output一个$y^n$，我们把这个output跟样本点本身的label标注的target $\hat{y}^n$作cross entropy，这个交叉熵定义了output $y^n$和target $\hat{y}^n$之间的距离$l^n(\theta)$，如果cross entropy比较大的话，说明output和target之间距离很远，这个network的parameter的loss是比较大的，反之则说明这组parameter是比较好的。然后summation over所有training data的cross entropy $l^n(\theta)$，得到total loss $L(\theta)$，这就是我们的loss function，用这个$L(\theta)$对某一个参数w做偏微分，表达式如下：
从表达式中可知，只需要考虑如何计算对某一笔data的$\frac{\partial l^n(\theta)}{\partial w}$，再将所有training data的cross entropy对参数w的偏微分累计求和，就可以把total loss对某一个参数w的偏微分给计算出来。
我们先考虑某一个neuron（图中被红色三角形圈住的neuron），假设只有两个input $x_1,x_2$，通过这个neuron，我们先得到$z=b+w_1 x_1+w_2 x_2$，然后经过activation function从这个neuron中output出来，作为后续neuron的input，再经过了很多层的运算之后，会得到最终的output $y_1,y_2$
接着考虑计算$\frac{\partial l}{\partial w}$，按照chain rule，可以把它拆分成两项，$\frac{\partial l}{\partial w}=\frac{\partial z}{\partial w} \frac{\partial l}{\partial z}$，这两项分别去把它计算出来：
- 计算前一项$\frac{\partial z}{\partial w}$的process，称之为Forward pass；
- 计算后一项$\frac{\partial l}{\partial z}$的process，称之为Backward pass。
Forward Pass
$\frac{\partial z}{\partial w}$这一项计算很简单，$\frac{\partial z}{\partial w_1}=x_1 ,\ \frac{\partial z}{\partial w_2}=x_2$。它的规律是这样的：求$\frac{\partial z}{\partial w}$，就是看$w$前面连接的input是什么，那微分后的$\frac{\partial z}{\partial w}$值就是什么，因此只要计算出neural network里面每一个neuron的output就可以知道任意的$z$对$w$的偏微分：
- 比如input layer作为neuron的输入时，$w_1$前面连接的是$x_1$，所以微分值就是$x_1$；$w_2$前面连接的是$x_2$，所以微分值就是$x_2$
- 比如hidden layer作为neuron的输入时，那该neuron的input就是前一层neuron的output，于是$\frac{\partial z}{\partial w}$的值就是前一层的z经过activation function之后输出的值(下图中的数据是假定activation function为sigmoid function得到的)
Backward Pass
$\frac{\partial l}{\partial z}$这一项比较复杂的，这里我们依旧假设activation function是sigmoid function。$z$通过activation function后得到$a$，这个neuron的output是$a=\sigma(z)$，接下来这个a会乘上某一个weight $w_3$，再加上其它的value得到$z’$，它是下一个neuron activation function的input，然后a又会乘上另一个weight $w_4$，再加上其它value得到$z’’$，后面还会经过很多运算，这里我们先考虑下一步会发生什么事情。
由Chain Rule，$\frac{\partial l}{\partial z}$可以写成
这里的$\frac{\partial a}{\partial z}$实际上就是activation function的微分(在这里就是sigmoid function的微分)，接下来的问题是$\frac{\partial l}{\partial a}$应该长什么样子呢？a会影响$z’$和$z’’$，而$z’$和$z’’$会影响$l$，所以通过chain rule可以得到
这里的$\frac{\partial z’}{\partial a}=w_3$，$\frac{\partial z’’}{\partial a}=w_4$，那$\frac{\partial l}{\partial z’}$和$\frac{\partial l}{\partial z’’}$又该怎么算呢？这里先假设我们已经通过某种方法把$\frac{\partial l}{\partial z’}$和$\frac{\partial l}{\partial z’’}$这两项给算出来了，然后回过头去就可以把$\frac{\partial l}{\partial z}$给轻易地算出来
那么由Forward pass和Backward就可以得到$\frac{\partial l}{\partial w_1}$：
换个角度
我们可以从另外一个观点来看待这个式子。想象现在有另外一个neuron，它不在我们原来的network里面，在下图中它被画成三角形，这个neuron的input就是$\frac{\partial l}{\partial z’}$和$\frac{\partial l}{\partial z’’}$，那input $\frac{\partial l}{\partial z’}$乘上$w_3$，input $\frac{\partial l}{\partial z’’}$乘上$w_4$，它们两个相加再乘上activation function的微分 $\sigma’(z)$，就可以得到output $\frac{\partial l}{\partial z}$
这张图描述了一个新的“neuron”，它的含义跟图下方的表达式是一模一样的，作这张图的目的是为了方便理解。值得注意的是，这里的$\sigma’(z)$是一个constant常数，它并不是一个function，因为$z$其实在计算forward pass的时候就已经被计算好了（$z=w_1x_1+w_2x_2+b$），在这里$z$是一个固定的值。
所以这个neuron其实跟我们之前看到的sigmoid function是不一样的，它并不是把input通过一个non-linear进行转换，而是直接把input乘上一个constant $\sigma’(z)$，就得到了output，因此这个neuron被画成三角形，代表它跟我们之前看到的圆形的neuron的运作方式是不一样的，它是直接乘上一个constant(这里的三角形有点像电路里的运算放大器op-amp，它也是乘上一个constant)
现在需要解决的问题是，怎么计算$\frac{\partial l}{\partial z’}$和$\frac{\partial l}{\partial z’’}$这两项，这里需要考虑两种case：
case 1：Output Layer
假设蓝色的这个neuron已经是hidden layer的最后一层了，也就是说连接在$z’$和$z’’$后的这两个红色的neuron已经是output layer，它的output就已经是整个network的output了，这个时候计算就比较简单：
其中$\frac{\partial y_1}{\partial z’}$就是output layer的activation function (softmax) 对$z’$的偏微分
而$\frac{\partial l}{\partial y_1}$就是loss对$y_1$的偏微分，它取决于你的loss function是怎么定义的，也就是你的output和target之间是怎么evaluate的，可以是cross entropy或者是mean square error，用不同的定义，$\frac{\partial l}{\partial y_1}$的值就不一样。这样就可以把$l$对$w_1$和$w_2$的偏微分$\frac{\partial l}{\partial w_1}$、$\frac{\partial l}{\partial w_2}$算出来了。
Case 2：Not Output Layer
假设现在红色的neuron并不是整个network的output，那$z’$经过红色neuron的activation function得到$a’$，然后output $a’$和$w_5$、$w_6$相乘并加上一堆其他东西分别得到$z_a$和$z_b$，如下图所示
根据之前的推导证明类比，如果知道$\frac{\partial l}{\partial z_a}$和$\frac{\partial l}{\partial z_b}$，我们就可以计算$\frac{\partial l}{\partial z’}$，如下图所示，借助运算放大器的辅助理解，将$\frac{\partial l}{\partial z_a}$乘上$w_5$和$\frac{\partial l}{\partial z_b}$乘上$w_6$的值加起来再通过op-amp，乘上放大系数$\sigma’(z’)$，就可以得到output $\frac{\partial l}{\partial z’}$
知道$z’$和$z’’$就可以知道$z$，知道$z_a$和$z_b$就可以知道$z’$，…… ，现在这个过程就可以反复进行下去，直到找到output layer，我们可以算出确切的值，然后再一层一层反推回去。
这个方法听起来挺让人崩溃的，每次要算一个微分的值，都要一路往后走，一直走到network的output，如果写成表达式的话，一层一层往后展开，感觉会是一个很可怕的式子，但是实际上并不是这样做的。
你只要换一个方向，从output layer的$\frac{\partial l}{\partial z}$开始算，你就会发现它的运算量跟原来的network的Feedforward path其实是一样的。假设现在有6个neuron，每一个neuron的activation function的input分别是$z_1$、$z_2$、$z_3$、$z_4$、$z_5$、$z_6$，我们要计算$l$对这些$z$的偏微分，按照原来的思路，我们想要知道$z_1$的偏微分，就要去算$z_3$和$z_4$的偏微分，想要知道$z_3$和$z_4$的偏微分，就又要去计算两遍$z_5$和$z_6$的偏微分，这样做没有效率。
但是，如果反过来先去计算$z_5$和$z_6$的偏微分的话，这个process就会变得有效率。我们先去计算$\frac{\partial l}{\partial z_5}$和$\frac{\partial l}{\partial z_6}$，然后就可以算出$\frac{\partial l}{\partial z_3}$和$\frac{\partial l}{\partial z_4}$，最后就可以算出$\frac{\partial l}{\partial z_1}$和$\frac{\partial l}{\partial z_2}$，而这一整个过程，就可以转化为op-amp运算放大器的那张图
这里每一个op-amp的放大系数就是$\sigma’(z_1)$、$\sigma’(z_2)$、$\sigma’(z_3)$、$\sigma’(z_4)$，所以整一个流程就是，先快速地计算出$\frac{\partial l}{\partial z_5}$和$\frac{\partial l}{\partial z_6}$，然后再把这两个偏微分的值乘上路径上的weight汇集到neuron上面，再通过op-amp的放大，就可以得到$\frac{\partial l}{\partial z_3}$和$\frac{\partial l}{\partial z_4}$这两个偏微分的值，再让它们乘上一些weight，并且通过一个op-amp，就得到$\frac{\partial l}{\partial z_1}$和$\frac{\partial l}{\partial z_2}$这两个偏微分的值，这样就计算完了，这个步骤，就叫做Backward pass。
以上面这个图中的neural network为例，network共有12个$w$，写一下反向传播求梯度的过程，假如现在要求$\frac{\partial l}{\partial w_1}$和$\frac{\partial l}{\partial w_2}$，由Chain Rule知：
Forward Pass：
Backward Pass：
- Step 1：
- Step 2:
- Step 3:
最后就可以得到损失函数$l$对参数$w_1$，$w_2$的梯度：
在做Backward pass的时候，实际上的做法就是建另外一个neural network，本来正向neural network里面的activation function都是sigmoid function，而现在计算Backward pass的时候，就是建一个反向的neural network，它的activation function就是一个运算放大器op-amp，每一个反向neuron的input是loss $l$对后面一层layer的$z$的偏微分$\frac{\partial l}{\partial z}$，output则是loss $l$对这个neuron的$z$的偏微分$\frac{\partial l}{\partial z}$，做Backward pass就是通过这样一个反向neural network的运算，把loss $l$对每一个neuron的$z$的偏微分$\frac{\partial l}{\partial z}$都给算出来。
（注：如果是正向做Backward pass的话，实际上每次计算一个$\frac{\partial l}{\partial z}$，就需要把该neuron后面所有的$\frac{\partial l}{\partial z}$都给计算一遍，会造成很多不必要的重复运算，如果写成code的形式，就相当于调用了很多次重复的函数；而如果是反向做Backward pass，实际上就是把这些调用函数的过程都变成调用“值”的过程，因此可以直接计算出结果，而不需要占用过多的堆栈空间。）
Summary
最后来总结一下Backpropagation是怎么做的
Forward pass，每个neuron的activation function的$w$前连接的input，就是$\frac{\partial z}{\partial w}$；
Backward pass，建一个与原来方向相反的neural network，它的三角形neuron的output就是$\frac{\partial l}{\partial z}$
把通过forward pass得到的$\frac{\partial z}{\partial w}$和通过backward pass得到的$\frac{\partial l}{\partial z}$乘起来就可以得到$l$对$w$的梯度$\frac{\partial l}{\partial w}$
