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算法基础（9）

发表于 更新于 分类于 本文字数： 6.4k
求最小生成树（Prim算法，Kruskal算法），二分图（染色法，匈牙利算法）。

第三章 搜索与图论（三）

定义无向连通图的最小生成树 （Minimum Spanning Tree，MST）为边权和最小的生成树。

注意：只有连通图才有生成树，而对于非连通图，只存在生成森林。

可参考：最小生成树

最小生成树问题对应的图都是无向图，一般有两种常用的解法：

  • Prim算法：（和Dijkstra算法很像）
    • 朴素版Prim算法——稠密图，时间复杂度$O(n^2)$；
    • 堆优化版Prim算法——稀疏图，时间复杂度$O(m \log n)$
  • Kruskal算法——稀疏图，时间复杂度$O(m \log n)$

算法的选择：如果是稠密图，一般就用朴素版Prim算法；如果是稀疏图，一般就用Kruskal算法。堆优化版Prim算法一般不常用。

朴素版Prim算法

朴素版Prim算法适用于解决稠密图的最小生成树问题，其思路和Dijkstra算法很像：

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初始化所有距离为正无穷 dist[i] = INF;
for(i = 0; i < n; i++)
{
	t = 集合s外距离最近的点;        //集合s表示当前在连通块中的所有的点
    用t更新其他点到**集合**的距离;   //注意这里与Dijkstra算法的区别
                                //点到集合的距离：当前点能连到集合内部的点的边中最短的边的距离；若没有一条边是连到集合内部的，距离就定义为正无穷
    s[t] = true;
}

生成树就是：每次选到的t，其距离对应的那条边，所组成的树

例题：Prim算法求最下生成树（Acwing 858)

给定一个n个点m条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。给定一张边带权的无向图G=(V, E)，其中V表示图中点的集合，E表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。由V中的全部n个顶点和E中n-1条边构成的无向连通子图被称为G的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图G的最小生成树。

输入格式：第一行包含两个整数n和m。接下来m行，每行包含三个整数u，v，w，表示点u和点v之间存在一条权值为w的边。

输出格式：共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。

数据范围：$1 \le n \le 500, 1 \le m \le 10^5$，图中涉及边的边权的绝对值均不超过10000。

（实际问题：如在城市之间铺路，允许路之间交叉，求铺路总长度的最小值）

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#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int g[N][N];   //稠密图用邻接矩阵存比较好
int dist[N];   //dist[]表示点到集合的距离
bool st[N];    //st[]存点是否已经在连通块中

int prim()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    
    int res = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        int t = -1;
        for(int j = 1; j <= n; j++)    //注意题目中给的点的编号，从1开始，那j就从1开始
            if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))   //找到集合外距离最近的点t
                t = j;
        
        if(i && dist[t] == INF)  return INF;
        if(i)   res += dist[t];   //注意：要先累加再更新，否则会把负的自环更新进来
        
        for(int j = 1; j <= n; j++)   //用t更新其他点到集合的距离
            dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
        
        st[t] = true;
    }
    
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    memset(g, 0x3f, sizeof g);
    
    while(m--)  
    {
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], w);
    }
    
    int t = prim();
    
    if(t == INF)  puts("impossible");
    else printf("%d\n", t);
    
    return 0;
}

Prim算法的堆优化思路和Dijkstra堆优化的思路是一样的：用堆维护上面的dist[]数组，每次找最小值的时间复杂度是$O(1)$，共执行$n$次就是$O(n)$；更新堆中的一个元素是$O(\log n)$，共$m$条边，执行了$m$次就是$O(m \log n)$，所以堆优化版的Prim算法的时间复杂度就是$O(m \log n)$。

Kruskal算法

Kruskal算法适用于解决稀疏图的最小生成树问题，其思路如下：

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将所有边按权重从小到大排序;   //Kruskal算法的瓶颈，O(mlogm)
从小到大枚举每条边 a——b，权重是w
    if a,b不连通（边不在集合中）
        将这条边加入到集合中（其实就是将a和b之间连一条边）  //可以理解为并查集的简单应用
        
//不需要用邻接矩阵或邻接表来存图，只需用结构体把每条边存起来即可

例题：Kruskla算法求最小生成树（Acwing 858）

题目和前一道题一样，数据范围变了变：$1 \le n≤10^5, 1 \le m \le 2∗10^5$，显然这是一个稀疏图问题。

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#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 100010, M = 200010, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int p[N];  //并查集中的父节点

struct Edge
{
    int a, b, w;
    
    bool operator < (const Edge &E) const
    {
        return w < E.w;
    }
}edges[M];

int find(int x)   //并查集的find函数
{
    if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int kruskal()
{
    sort(edges, edges + m);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)  p[i] = i;    //初始化并查集
    
    int res = 0, cnt = 0;
    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
        
        a = find(a), b = find(b);
        
        if(a != b)   //如果a和b在并查集中没有连通
        {
            p[a] = b;
            res  += w;    //res存最小生成树中边权的总和
            cnt ++;
        }
    }
    
    //如果循环结束后，连通的边数小于n-1，说明n个点没有全部连通，即不存在最小生成树
    if(cnt < n - 1)  return INF;   
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        edges[i] = {a, b, w};
    }
    
    int t = kruskal();
    
    if(t == INF)  puts("impossible");
    else printf("%d\n", t);
    
    return 0;
}

染色法判定二分图

二分图：节点由两个集合组成，且两个集合内部没有边的图。换言之，存在一种方案，将节点划分成满足以上性质的两个集合。

可参考：二分图，介绍了二分图的概念和性质

二分图，通常有两类问题：

  • 染色法判定二分图，（DFS），时间复杂度$O(n+m)$
  • 匈牙利算法，最坏情况下时间复杂度$O(nm)$，但实际运行时间一般远小于$O(nm)$

二分图的性质：一个图是二分图，当且仅当图中不含奇数环。抽象为染色问题，一点为黑色，那连通块中与它相邻的点一定为白色；若连通块中一个点的颜色确定了，整个连通块中点的颜色就确定了。由于图中不含有奇数环，所以整个染色过程一定是没有矛盾的。

染色法判定二分图的思路如下：

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for(int i = 1; i <= n; i++)  遍历所有点
    if i 没被染色
        dfs(i, 1); 用深度优先遍历将i所在的连通块中的点都染色; 1表示点i当前的颜色

例题：染色法判定二分图

给定一个n个点m条边的无向图，图中可能存在重边和自环。请你判断这个图是否是二分图。

输入格式：第一行包含两个整数n和m。接下来m行，每行包含两个整数u和v，表示点u和点v之间存在一条边。

输出格式：如果给定图是二分图，则输出“Yes”，否则输出“No”。

数据范围：$1 \le n\le 10^5, 1 \le m \le 10^5$。

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#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 100010, M = 200010;

int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;   //用邻接表存稀疏图
int color[N];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;    
}

bool dfs(int u, int c)
{
    color[u] = c;       //给当前点染色
    
    for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];   
        if(!color[j])   //若当前点未染色
        {
            if(!dfs(j, 3 - c))  return false;    //两种颜色1和2， 3 - c 就表示与c不同的另一种颜色
        }
        else if (color[j] == c)  return false;   //如果与u相邻的点颜色与其相同，说明冲突了
    }
    
    return true;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    
    while(m--)
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b), add(b, a);   //无向图，存两次边
    }
    
    bool flag = true;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(!color[i])
        {
            if(!dfs(i, 1))
            {
                flag = false;
                break;
            }
        }
    
    if(flag)    puts("Yes");
    else  puts("No");
    
    return 0;
}

匈牙利算法（二分图最大匹配）

二分图的匹配：给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。

二分图的最大匹配：所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配，其边数即为最大匹配数。

匈牙利算法又称为KM算法，可以用来求解解决二分图最大权匹配。

可以参考：二分图最大权匹配

（奇妙比喻）匈牙利算法的思路是：遍历左边的男生，第一个，第二个都顺利找到了心仪的且还是单身的女伴，到了第三个男生，发现心仪的女生已经有所属了，但他没有放弃，回去看这位女生所属的男生，发现他还有其他心仪的女生，OK那就交换一下，这样三个男生就都有女伴了。

时间复杂度：遍历每个男生，n；每个男生找女伴时最多再遍历m边条，因此最坏情况下，时间复杂度为$O(nm)$，但实际运行的复杂度远小于$O(mn)$。

例题：二分图的最大分配（Acwing 861）

给定一个二分图，其中左半部包含$n_1$个点（编号1~$n_1$），右半部包含$n_2$个点（编号1~$n_2$），二分图共包含m条边。数据保证任意一条边的两个端点都不可能在同一部分中。请你求出二分图的最大匹配数。

输入格式：第一行包含三个整数 n1、 n2 和 m。接下来m行，每行包含两个整数u和v，表示左半部点集中的点u和右半部点集中的点v之间存在一条边。

输出格式：输出一个整数，表示二分图的最大匹配数。

数据范围：$1 \le n_1,n_2 \le 500, 1 \le u \le n_1, 1 \le v \le n_2, 1 \le m \le 10^5$。

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#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 510, M = 100010;

//只会找左边集合中的点指向哪些边
int n1, n2, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int match[N];  //右边集合中的点与哪些点相连
bool st[N];    //每次不要重复搜一个点

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

bool find(int x)
{
    for(int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])      //遍历当前男生相连的女生
    {
        int j = e[i];
        if(!st[j])     //如果这个女生之前没找过
        {
            st[j] = true; 
            if(match[j] == 0 || find(match[j]))   //如果这个女生还没有所属，或者其所属可以找到其他女生，那这次配对就成功了
            {
                match[j] = x;    
                return true;
            }
        }
    }
    
    return false;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &m);
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    
    while(m--)
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b);
    }
    
    int res = 0;
    for (int i = 0; i <= n1; i++)      //枚举每个男生
    {
        memset(st, false, sizeof st);
        if(find(i))  res ++;
    }
    
    printf("%d\n", res);
    
    return 0;
}

图论题的难点是如何把问题抽象成图论问题。